[백준 1647] 도시 분활 계획(크루스칼 알고리즘, Kruskal, 최소신장트리) - 파이썬 Python

도시 분할 계획

https://www.acmicpc.net/problem/1647

동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상구경을 하고 있다. 그러다가 평화로운 마을에 가게 되었는데, 그곳에서는 알 수 없는 일이 벌어지고 있었다.

마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다. 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재한다.

마을의 이장은 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할할 계획을 가지고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.

그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. N은 2이상 100,000이하인 정수이고, M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다. 그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A B C 세 개의 정수로 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C (1 ≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.

임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하는 입력만 주어진다.

출력

첫째 줄에 없애고 남은 길 유지비의 합의 최솟값을 출력한다.

예제 입력

7 12
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 5 2
3 4 4
7 3 6
5 1 5
1 6 2
6 4 1
6 5 3
4 5 3
6 7 4

예제 출력

8

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최소 신장 트리를 이용해 풀이

최소 신장 트리는 모든 노드가 연결되도록 간선을 그은 트리의 가중치의 합이 가장 작은 것을 말합니다. 가중치의 값이 최소가 돼야되기 때문에 사이클은 없어야 합니다.

 

총 간선으로 모든 노드를 연결하면서, 유지비용은 최소로 돼야되니까 최소 신장 트리가 알맞는 알고리즘입니다.

그러나 맨마지막에 도시를 두개로 분활해야되는데, 연결한 엣지중에서 제일 비용이 높은 엣지를 끊으면 자동으로 마을이 두개로 분활이 되고, 총 비용도 최소가 될것입니다.

 

즉, 크루스칼 알고리즘으로 최소 신장 트리와 총 비용을 구하고, 최소 신장 트리에 제일 큰 노드를 끊어내면 됩니다.

어차피 가장 큰 엣지는 마지막에 연결하므로, 최소신장트리가 n-1개의 엣지를 연결한다면, 이 문제에선 n-2개의 노드만 연결하면 자동으로 두 마을로 분활되고, 비용도 최소가 됩니다.

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크루스칼 알고리즘

크루스칼 알고리즘은 최소 신장 부분 트리를 찾는 알고리즘으로 가중치가 가장 낮은 엣지를 순서대로 고르지만, 사이클이 안생기도록 고르는 알고리즘입니다.

변의 개수를 E, 꼭짓점의 개수 V라고 하면 이 알고리즘은O(E\log V)의 시간복잡도를 가집니다.

 

1. 엣지리스트 초기화 하기

엣지들을 가중치가 낮은것 순서대로 뽑을 것이므로 리스트에다가 넣고, 나중에 정렬해줍니다.

2. 유니온 파인드 알고리즘 적용시키기

유니온 파인드는 쉽게 말해서 집합을 구현하는 알고리즘입니다. 아래 코드를 보시면 겉핥기로 이해되실 것입니다 (크루스칼 포스트이므로 상세하게 설명은 안하겠습니다.)

n, m = map(int, sys.stdin.readline().rstrip().split())

parent = [i for i in range(n+1)]

def find(x):
    if parent[x] == x:
        return x
    parent[x] = find(parent[x]) # get_parent 거슬러 올라가면서 parent[x] 값도 갱신
    return parent[x]

def union(a, b):
    a = find(a)
    b = find(b)
    if a < b: # 작은 쪽을 부모로 통일
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

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엣지들이 있을때 가중치가 가장 낮은 엣지를 우선적으로 선택해서 차례대로 연결합니다.

만약에 연결하면 사이클이 생기면, 건너뛰고 다음 엣지부터 검토합니다.

사이클이 생기는 지 여부는 유니온 파인드 알고리즘을 통해 판별할 수 있습니다.

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예를 들면 가중치가 9인 빨간색 엣지의 양끝 노드를 보면 B,D인데 둘다 같은 유니온(집합)에 속해있기 때문에 사이클이 생기므로 건너뛰고 다음 엣지를 살펴봅니다.

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N이 노드의 갯수라고 할때, 탐색을 전부완료하면 N-1개의 엣지가 있어야되고, 모든 노드들이 한 유니온으로 연결되어있어야합니다.

 

엣지리스트를 내림차순으로 정렬하고 하나씩 뽑아서 유니온이 아닌 노드를 연결하는 엣지마다 적용 시켜주면 됩니다.

edges.sort(key = lambda x : x[0])
i = 0
weight = 0
while cnt<n-1:
    w,a,b = edges[i][0] , edges[i][1], edges[i][2]
    if find(a) != find(b):
        cnt+=1
        weight += w
        union(a,b)
    i+=1
print(weight)

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파이썬 코드

최소신장트리가 n-1개의 엣지를 연결한다면, 이 문제에선 n-2개의 노드만 연결하면 자동으로 두 마을로 분활되고, 비용도 최소가 됩니다.

설명은 주석에 있습니다 

# 크루스칼
n,m = map(int, input().split())
edges = []
parent = [i for i in range(n)] # 1,2,3 노드를 -> 0,1,2로 저장할 예정
for _ in range(m):
    a,b,w = map(int, input().split())
    edges.append((w,a-1,b-1)) # 1,2,3 노드를 -> 0,1,2로 저장할 예정

def find(x):
    if parent[x] == x:
        return x
    parent[x] = find(parent[x]) # find 거슬러 올라가면서 parent[x] 값도 갱신
    return parent[x]

def union(a, b):
    a = find(a)
    b = find(b)
    if a < b: # 작은 쪽을 부모로 통일
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

edges.sort(key = lambda x : x[0]) # 0번째 인덱스에 있는 w(가중치) 기준으로 내림차순 정렬
cnt = 0 # 연결한 엣지수
i = 0
cost = 0 # 총 비용
while cnt<n-2: # n-1 하면 모든 노드가 연결된다.
    w,a,b = edges[i][0] , edges[i][1], edges[i][2]
    if find(a) != find(b):
        cnt+=1
        cost += w
        union(a,b)
    i+=1

print(cost)