[백준 11660번] 누적 합 알고리즘 - 파이썬(python)

구간 합 구하기 5 

 

문제

N×N개의 수가 N×N 크기의 표에 채워져 있다. (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (x, y)는 x행 y열을 의미한다.

예를 들어, N = 4이고, 표가 아래와 같이 채워져 있는 경우를 살펴보자.

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

여기서 (2, 2)부터 (3, 4)까지 합을 구하면 3+4+5+4+5+6 = 27이고, (4, 4)부터 (4, 4)까지 합을 구하면 7이다.

표에 채워져 있는 수와 합을 구하는 연산이 주어졌을 때, 이를 처리하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 표의 크기 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1024, 1 ≤ M ≤ 100,000) 둘째 줄부터 N개의 줄에는 표에 채워져 있는 수가 1행부터 차례대로 주어진다. 다음 M개의 줄에는 네 개의 정수 x1, y1, x2, y2 가 주어지며, (x1, y1)부터 (x2, y2)의 합을 구해 출력해야 한다. 표에 채워져 있는 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. (x1 ≤ x2, y1 ≤ y2)

출력

총 M줄에 걸쳐 (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구해 출력한다.

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예제 입력 1

4 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
2 2 3 4
3 4 3 4
1 1 4 4

예제 출력 1

27
6
64

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누적 합(Prefix Sum) / 구간 합

누적합 또는 구간 합 알고리즘은 코딩테스트에 사용 빈도가 높은 알고리즘이기 때문에 꼭 알아두면 좋습니다.

구간 합은 합 배열을 만들고, 재사용해서 시간 복잡도를 줄이는 알고리즘입니다.

고등학교 수1-수열에서 a1 ,a2...ai 가 수열의 일반항이고, S1,S2.....Sn가 수열의 합을 나타냈습니다.

똑같이 배열에서 A[0] + A[1] + .... A[n] 까지 더한것을 S[n]에 저장하고 불러오는 것입니다.

 

정의 : S[i] = A[0] + A[1] + .... A[i]

 

A[i] + ....+ A[j] 를 S[j] - S[i-1] 라는 간단한 연산으로 바로 구할 수 있습니다.

 

A[i] 부터 A[j]까지의 합을 합배열 없이 구하는 경우, 최악의 경우 0~N 인경우로 시간 복잡도는 O(N)입니다.

그러나 합 배열을 이용하면 O(1)안에 답을 구할 수 있습니다.

 

합 배열을 만드는 공식 : S[i] = S[i-1] + A[i]

 

입력에서 항을 하나씩 받을 때마다 기존의 합배열에 하나씩 추가하는 방법으로 진행 할수 있습니다.

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이차원 구간 합?

하지만 문제에서는 일차원이 아니라 이차원 구간 합을 요구합니다.

그러면 입체적인 구간같은 경우에는 원점부터 (x,y)까지 직사각형의 합을 아래와 같이 일반항을 만들수 있습니다.

 

기존 배열

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

원점과 붙어있는 항들은 통상적인 합배열 공식으로 구해줍니다.

1	3	6	10
3	?
6
10

여기서 물음표 구간은 위에 1,3 사각형과 왼쪽에 1,3사각형을 더하고 물음표 자리에 있던 기존배열의 값(A[2][2] = 3)을 더해준뒤,  

1 사각형이 중복으로 더했기 때문에 빼면 됩니다.

 즉, 공식이 D[i][j] = D[i-1][j] + D[i][j-1] - D[i-1][j-1] + A[i][j] 이렇게 됩니다.

이 합배열을 이용해서 직사각형 구간의 합을 구해주면 됩니다.

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파이썬 코드

#누적합
import sys;
input = sys.stdin.readline

N , M = map(int , input().split())
num = [[0] * (N+1)]
D = [[0 for _ in range(N+1)] for _ in range(N+1)]
for i in range(N):
    num.append([0] + [int(x) for x in input().split()])
for i in range(1, N+1):
    for j in range(1 , N+1):
        D[i][j] = D[i-1][j] + D[i][j-1] - D[i-1][j-1] + num[i][j]
for i in range(M):
    x1,y1,x2,y2 = map(int , input().split())
    result = D[x2][y2] - D[x1-1][y2] - D[x2][y1-1]+ D[x1-1][y1-1]
    print(result)