[백준 9084] 냅색 알고리즘(DP) - 파이썬 Python

동전 성공

 

문제

우리나라 화폐단위, 특히 동전에는 1원, 5원, 10원, 50원, 100원, 500원이 있다. 이 동전들로는 정수의 금액을 만들 수 있으며 그 방법도 여러 가지가 있을 수 있다. 예를 들어, 30원을 만들기 위해서는 1원짜리 30개 또는 10원짜리 2개와 5원짜리 2개 등의 방법이 가능하다.

동전의 종류가 주어질 때에 주어진 금액을 만드는 모든 방법을 세는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 T(1 ≤ T ≤ 10)가 주어진다. 각 테스트 케이스의 첫 번째 줄에는 동전의 가지 수 N(1 ≤ N ≤ 20)이 주어지고 두 번째 줄에는 N가지 동전의 각 금액이 오름차순으로 정렬되어 주어진다. 각 금액은 정수로서 1원부터 10000원까지 있을 수 있으며 공백으로 구분된다. 세 번째 줄에는 주어진 N가지 동전으로 만들어야 할 금액 M(1 ≤ M ≤ 10000)이 주어진다.

편의를 위해 방법의 수는 2^31 - 1 보다 작고, 같은 동전이 여러 번 주어지는 경우는 없다.

 

출력

각 테스트 케이스에 대해 입력으로 주어지는 N가지 동전으로 금액 M을 만드는 모든 방법의 수를 한 줄에 하나씩 출력한다.

예제 입력 1 복사

3
2
1 2
1000
3
1 5 10
100
2
5 7
22

예제 출력 1 복사

501
121
1

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냅색(Knapsack) 알고리즘

냅색 알고리즘은 유명한 DP 문제 중 하나입니다.

가방에 담을 수 있는 무게엔 한계가 있고, 각 물건엔 가치가 정해져있습니다.
가방에 최대치로 물건을 담았을 때, 최대의 가치값을 구하는 문제입니다.

 냅색 알고리즘은 두가지로 나뉩니다.

 

1. Fraction Knapsack :  물건의 가격을 무게로 나누어 무게 대비 가격이 비싼 순서로 물건을 정렬해서 넣으면 쉽게 해결할 수 있다.
   남은 배낭이 감당할 수 있는 무게보다 물건의 무게가 많이 나가면 잘라서 넣으면 됩니다.
2. 0-1 Knapsack :  물건을 자를 수 없기 때문에 물건, 물건의 무게, 물건의 가격, 배낭의 남은 용량을 모두 고려해야 한다.
   = 이 문제에 해당하는 유형으로 dp로 해결할 수 있습니다.

https://konkukcodekat.tistory.com/entry/%EB%B0%B1%EC%A4%80-12865-%EB%83%85%EC%83%89-%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98DP-%ED%8C%8C%EC%9D%B4%EC%8D%AC-Python

[백준 12865] 냅색 알고리즘(DP) - 파이썬 Python

 

위에 정석적인 냅색 알고리즘을 이 문제에 맞게 변형을 하면 됩니다.

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알고리즘

 

동전의 종류를 n, 목표 금액을 m라고 할 때,

x축엔 금액의 양, y축에는 동전의 종류 n만큼의 배열을 만들어줍니다.

 

10원을 3개의 2원, 3원, 5원을 이용해 몇 가지로 나타낼 수 있는지 가정하겠습니다.

 

 

2원 짜리 동전을 이용한다고 하면 2,4,6 처럼 2의 배수부분에 경우의 수 1개씩 생기므로 DP테이블에 저장해줍니다.

	1원	2원	3원	4원	5원	6원	7원	8원	9원	10원
2원	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
3원
5원

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다음으로 3원짜리 동전으로 3원은 1가지지만 6원은 2+2+2와 3+3 2가지의 경우가 존재합니다. 

여기서 동적 프로그래밍의 개념이 나옵니다. 

이전의 경우를 저장해놓고, 현재의 경우와 이전의 경우를 합해 나가면서 경우의 수를 계산합니다.

 

6원 같은 경우는  3원짜리 동전2개로 만들수도 있고, 3월을 한개씩 덜 쓴다는 개념으로 접근합니다

3원짜리 다쓰면 DP[3원동전][6-0원]에 1이 추가됩니다. (3원 두개)

3원짜리 하나를 덜 쓰면 DP[이전동전(2원동전)][6-3원]

3원짜리 두개를 덜 쓰면 DP[이전동전(2원동전)][6-6원] // 3원을 아예 안쓰는 겁니다!

방법으로 구할 수 있습니다. 여기서 저장된 경우의 수들을 다 더하므로

 

DP[3원동전][6원] = DP[i-1][j-0] + DP[i-1][j-3] + DP[i-1][j-3*2] + DP[i-1][j-3의 배수]

 

	1원	2원	3원	4원	5원	6원	7원	8원	9원	10원
2원	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
3원	x	x	1	1	1	2	1	2	2	2
5원

 

이런 방식의 알고리즘으로 모든 행들을 탐색해서 마지막 행의 m원 부분에 들어가있는 경우의 수를 출력하면 됩니다.

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파이썬 코드

#Knapsack
import sys
input = sys.stdin.readline
t = int(input())

def knapsack(n, coins, cost):
    DP = [[0] * (cost + 1) for _ in range(n+1)]
    DP[0][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        coin = coins[i]
        for j in range(0, cost+1):
            cnt = j//coin
            for k in range(0,coin*cnt +1,coin):
                DP[i][j] += DP[i-1][j-k]
    print(DP[n][cost])

for _ in range(t):
    n = int(input())
    coins = [0] + list(map(int, input().split()))
    cost = int(input())
    knapsack(n, coins, cost)