파이썬 (Python) - 벨만-포드(Bellman-Ford) 개념과 예제 (백준 11657)

벨만 포드 알고리즘

많이 알려져있는 다익스트라가 (시간 복잡도 O(ElogV)) 최단거리 구하는 알고리즘이라면, 벨만-포드 알고리즘(시간 복잡도 O(VE))은 다익스트라 보단 조금 느리지만, 음수엣지가 있어도 수행할수 있는 알고리즘입니다.

 

음수 엣지가 있는 그래프 탐색에선 '음수 사이클'이 생기는데, 그 음수 사이클을 판별하는 용도로도 쓸수 있습니다.

 

음수 사이클 같은 경우는 위 그래프의 2,4,5 노드의 사이클이라고 보시면 됩니다.

한 바퀴 돌때마다 -1씩 감소하므로, 최단거리가 음의 무한대로 발산할 수 있기 때문에 이 경우는 최단거리가 없는 경우입니다.

음의 엣지가 있는 그래프에서는 최단 거리를 구할 땐 음수 사이클이 없는지 확인하고 출력해야합니다

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1. 등록된 모든 엣지를 가지고 엣지리스트와 각 노드별로 거리 리스트를 만듭니다

 

거리 리스트 (출발점이 1이라고 할때) INF는 무한대를 의미합니다

노드	1	2	3	4	5
최단 거리	0	INF	INF	INF	INF

 

엣지 리스트 (벨만-포트 법은 다익스트라와 다르게 엣지 중심으로 탐색합니다.)

엣지	1	2	3	4	5	6
시작	1	2	1	3	4	5
끝	2	5	3	4	2	5
가중치	8	5	3	7	-4	2

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2.모든 엣지를 전부 한번씩 탐색해서 거리리스트를 업데이트 합니다.

dist가 거리리스트라고 할때,

dist[시작] + 가중치 <  dist[끝] 를 만족하면 dist[끝] = dist[시작] + 가중치로 업데이트 합니다

dist[시작]의 값이 INF이면 아직 도달하지 못한 노드이므로 수행하지 않습니다.

나중에 이 방식을 N-1 반복하면 완전히 다 탐색하게 되어있습니다.

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3. 노드의 갯수가 N일때, 2번의 방법을 N-1회 반복합니다. 최단거리를 구할수 있는 최소한의 반복입니다.

 

4. 또 한번 2번의 방법을 다시 수행하고, 거리리스트가 업데이트 되면 음수 사이클이 있다고 판별할 수 있습니다. 한번도 업데이트가 안되면 음수사이클이 없으므로 최댓값 그대로 출력하면 됩니다.

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타임머신

문제

N개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 버스가 M개 있다. 각 버스는 A, B, C로 나타낼 수 있는데, A는 시작도시, B는 도착도시, C는 버스를 타고 이동하는데 걸리는 시간이다. 시간 C가 양수가 아닌 경우가 있다. C = 0인 경우는 순간 이동을 하는 경우, C < 0인 경우는 타임머신으로 시간을 되돌아가는 경우이다.

1번 도시에서 출발해서 나머지 도시로 가는 가장 빠른 시간을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 개수 N (1 ≤ N ≤ 500), 버스 노선의 개수 M (1 ≤ M ≤ 6,000)이 주어진다. 둘째 줄부터 M개의 줄에는 버스 노선의 정보 A, B, C (1 ≤ A, B ≤ N, -10,000 ≤ C ≤ 10,000)가 주어진다. 

출력

만약 1번 도시에서 출발해 어떤 도시로 가는 과정에서 시간을 무한히 오래 전으로 되돌릴 수 있다면 첫째 줄에 -1을 출력한다. 그렇지 않다면 N-1개 줄에 걸쳐 각 줄에 1번 도시에서 출발해 2번 도시, 3번 도시, ..., N번 도시로 가는 가장 빠른 시간을 순서대로 출력한다. 만약 해당 도시로 가는 경로가 없다면 대신 -1을 출력한다.

예제 입력

3 4
1 2 4
1 3 3
2 3 -1
3 1 -2

예제 출력

4
3

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파이썬 코드

dist는 distance의 약자로 거리리스트입니다.

INF는 sys.maxsize를 이용해서 구현할 수 있습니다.

n-1번 반복할때 최단거리가 나오는 것이고, n번째 반복때 만약에 거리리스트가 업데이트 되었다면, isCycle의 값을 True로 만듭니다.

#  펠만 - 포드
import sys
input = sys.stdin.readline
n,m = map(int, input().split())
edges = []
dist = [sys.maxsize] * (n+1)
dist[1] = 0
for _ in range(m):
    a,b,w = map(int, input().split())
    edges.append((a,b,w))

isCycle = False
for i in range(n):
    for start,end,w in edges:
        if dist[start] != sys.maxsize:
            distance = dist[start] + w
            if distance < dist[end]:
                if i == n-1:
                    isCycle = True
                dist[end] = distance

if isCycle:
    print(-1)
else:
    for i in dist[2:]:
        # 0과 1번째를 인덱싱으로 제외
        if i == sys.maxsize:
            print(-1)
        else:
            print(i)