파이썬(Python) 플로이드-워셜(Floyd-Warshall) 개념과 예제 (백준 11404)

플로이드-워셜 알고리즘

● 다익스트라( O(ElogV) ) vs 벨만-포드 ( O(EV) ) vs 플로이드-워셜 ( O(V^3) )

다익스트라는 양수엣지에서 가장 빠르게 최단거리를 구하는 알고리즘이고, 벨만-포드는 음수엣지에서 최단거리를 구하는 알고리즘이라면, 플로이드는 한 번 실행하여 모든 노드 간 최단 경로를 구할 수 있습니다. (플로이드-워셜 알고리즘은 음의 간선도 사용할 수 있습니다)

 

그러므로 한노드에서 출발하는 최단거리를 구하라고 하면 오래 걸리지만, 출발노드가 계속 달라지면서, 최단거리의 질의가 많아지면 빛을 발하는 알고리즘이라고 볼 수 있습니다.

 

동적계획법(DP)의 원리를 이용한 알고리즘으로 점화식은 아래와 같습니다.

s에서 시작해서 e로 간다고 하겠습니다. s->k->e 방식으로 k를 경유해서 갈때,

 

D[s][e] = min(D[s][k] + D[k][e] , D[s][e])

 

s->e 로 가는 최단거리중에 k가 있을때, s->e로 가는 최단거리는, s->k로 가는 최단거리와 k->e로 가는 최단거리를 합한것과 같기 때문입니다.

---

1.모든 노드 간의 최단거리를 구해야 하므로 2차원 인접 행렬(DP 테이블)을 구성합니다.

DP테이블에서는 기본적으로 거리가 무한대로 설정해줍니다. 그리고 자신이 자신한테 가는 경로는 0으로 초기화 해줍니다.

노드->노드	1	2	3
1	0	INF	INF
2	INF	0	INF
3	INF	INF	0

 

2. 엣지들을 이용해 DP테이블에 값을 입력합니다.

1->2 로 가는 가중치 3의 엣지와, 3->2 로 가는 가중치 5의 엣지가 있다면 테이블에 입력해줍니다.

노드->노드	1	2	3
1	0	3	INF
2	INF	0	INF
3	INF	5	0

 

3. 1번 노드부터 시작해 각 k를 한번씩 뽑고 k에 대해서 s-k-e 경로를 지정할 s와 e 를 한번씩 뽑아서 점화식을 적용시켜줍니다.

i -> k -> j 로 갈 경로를 이 순서로 삼중 반복문으로 반복해줍니다.

 

for k in range(1,n+1):#경유지
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,n+1):
            D[i][j] = min(D[i][k] + D[k][j], D[i][j])

---

플로이드 (백준 11404)

n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다. 각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.

모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 개수 n이 주어지고 둘째 줄에는 버스의 개수 m이 주어진다. 그리고 셋째 줄부터 m+2줄까지 다음과 같은 버스의 정보가 주어진다. 먼저 처음에는 그 버스의 출발 도시의 번호가 주어진다. 버스의 정보는 버스의 시작 도시 a, 도착 도시 b, 한 번 타는데 필요한 비용 c로 이루어져 있다. 시작 도시와 도착 도시가 같은 경우는 없다. 비용은 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.

시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.

출력

n개의 줄을 출력해야 한다. i번째 줄에 출력하는 j번째 숫자는 도시 i에서 j로 가는데 필요한 최소 비용이다. 만약, i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력한다.

예제 입력

5
14
1 2 2
1 3 3
1 4 1
1 5 10
2 4 2
3 4 1
3 5 1
4 5 3
3 5 10
3 1 8
1 4 2
5 1 7
3 4 2
5 2 4

예제 출력

0 2 3 1 4
12 0 15 2 5
8 5 0 1 1
10 7 13 0 3
7 4 10 6 0

---

파이썬 코드

최단거리 DP 테이블을 D로 설정해주고 앞에 설명했던 알고리즘 그대로 작성해줍니다.

import sys
input =  sys.stdin.readline
n = int(input())
m = int(input())
D = [[sys.maxsize] * (n+1) for _ in range(n+1)]

for i in range(1,n+1):
    D[i][i] = 0

for _ in range(m):
    a,b,w = map(int, input().split())
    D[s][e] = min(D[s][e] , w)
for k in range(1,n+1):#경유지
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,n+1):
            D[i][j] = min(D[i][k] + D[k][j], D[i][j])

for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,n+1):
        if D[i][j] == sys.maxsize:
            print(0,end=' ')
        else:
            print(D[i][j],  end=' ')
    print()